B006501 - ANALISI MATEMATICA I

Italiano

i) Obbiettivi preminenti sul piano culturale e formativo:
-- Mostrare la struttura logica del discorso ed abituare gli studenti al necessario rigore
nella discussione e verifica delle ipotesi, quale attitudine fondamentale per un corretto
utilizzo di risultati teorici, di modelli e di metodi di calcolo.
-- Far si' che gli studenti acquisiscano una chiara consapevolezza dei significati geometrici, fisici e numerici dei concetti fondamentali dell'analisi matematica; tale obbiettivo ha un ruolo essenziale ai fini della ricaduta dell'insegnamento in altri ambiti.

ii) Su un piano piu' strumentale, ci prefiggiamo di introdurre gli elementi del calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale (derivate e rette tangenti, problemi di minimo, integrali e aree, evoluzione temporale dello stato di un sistema).
Questi sono di immediato utilizzo nello studio delle altre discipline tecnico-scientifiche e inoltre di preparazione ai successivi insegnamenti di Analisi Matematica II, Probabilita'/Statistica, il cui ruolo e' cruciale nell'acquisizione degli strumenti matematici necessari
a tutti gli insegnamenti caratterizzanti il corso di studio.

Linguaggio delle proposizioni. Numeri reali. Successioni e funzioni reali. Il concetto di limite. Funzioni continue. Funzioni derivabili e loro proprietà. Problemi di minimo/massimo. Grafici. Formula di Taylor e sue applicazioni. Funzioni convesse. Integrale secondo Riemann. Il Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo degli integrali. Integrali impropri. Serie numeriche. Introduzione ai modelli differenziali.

Lezioni (in aula, alla lavagna), in assenza di rigida separazione tra teoria e pratica.
La discussione di problemi/esercizi assegnati con cadenza (bi-)settimanale e' parte integrante
del corso.

Prova scritta e -- se ammessi -- successiva prova orale, a stretto giro.
Gli appelli sono distinti tra loro: salvo diversa indicazione da parte dei docenti, la prova
orale non puo' essere procrastinata ad altri appelli.
Per il colloquio occorre prevedere di discutere l'elaborato.

Il programma esteso seguente e' indicativo; il programma dettagliato definitivo
si desume dal registro delle lezioni.

Analisi Matematica I

(i) Richiami, preliminari, funzioni
Insiemi, operazioni sugli insiemi e simboli logici.
Insiemi numerici, massimi e minimi, estremi. Proprieta' di completezza dei numeri reali e sue conseguenze.
Funzioni: iniettivita' e suriettivita'; funzioni composte e inverse.
Funzioni reali di variabile reale: funzioni elementari, monotonia e inverse delle funzioni elementari.

(ii) Successioni, limiti, continuita'
Limiti e continuita': Limiti di successioni e di funzioni; continuita'. Teoremi sui limiti: unicita' del limite, permanenza del segno e limitatezza locale, teoremi di confronto. Limiti di funzioni monotone. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Confronto di funzioni. Simboli di Landau. Infiniti e infinitesimi. Ordine di infinito e di infinitesimo, parte principale (rispetto a un dato campione). Asintoti.
Il numero e. Limiti notevoli trigonometrici ed esponenziali. Funzioni continue su un intervallo: esistenza degli zeri e dei massimi e minimi.

(iii) Derivate, sviluppi asintotici
Derivate: significato geometrico e fisico. Regole di derivazione. Tabella delle derivate fondamentali.
Derivate e continuita'. Punti di non derivabilita', punti di estremo e punti critici. Teorema di Fermat. Funzioni derivabili su intervalli e teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Rolle e Lagrange) e loro conseguenze. Regola di de L'Hopital.
Formula di Taylor e sviluppi di McLaurin fondamentali.
Uso degli sviluppi di Taylor nello studio del comportamento locale delle funzioni: confronto di funzioni, estremi, convessita'. Applicazioni allo studio del grafico di funzioni.

(iv) Integrali
Primitive e regole di calcolo delle primitive; primitive di funzioni razionali. Integrale indefinito.
Integrale di Riemann e sue proprieta': monotonia, additivita' e linearita' dell'integrale; media integrale. Classi di funzioni integrabili.
Teorema fondamentale del calcolo integrale: relazione tra primitive e integrazione definita.
Integrali impropri: definizioni e criteri di convergenza.

(v) Serie Numeriche
Somme parziali (o ridotte) n-sime, somma di una serie. Serie regolari e serie oscillanti.
Serie geometrica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie.
La serie armonica.
Serie a termini non negativi; criterio del confronto e del confronto asintotico;
criterio del rapporto e della radice; serie armonica generalizzata.
Serie a termini di segno variabile, criterio di Leibniz. Convergenza assoluta di una serie.

(v) Modelli differenziali
Introduzione ai modelli differenziali: caduta dei gravi, crescita e decadimento;
il modello di Verhulst (equazione logistica).
Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO): il problema di Cauchy.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
*EDO del primo ordine non lineari, EDO a variabili separabili.
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

Testo di riferimento:
Enrico Giusti, Analisi Matematica 1, 3^ edizione interamente riveduta e ampliata 2002,
Bollati Boringhieri.

Alri testi consigliati:

Carlo Domenico Pagani & Sandro Salsa,
Analisi matematica 1, Seconda edizione 2015, Ed. Zanichelli, Bologna.

Mariano Giaquinta & Giuseppe Modica,
Note di Analisi Matematica. Funzioni di una variabile, Pitagora Ed. Bologna, 2005.

Walter Rudin,
Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.

Per esercizi/problemi:

Boris P. Demidovic
Esercizi e Problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010.

Durata del corso: circa 13 settimane nominali, dal 21 Settembre al 23 Dicembre 2014